胜局数：34147
点
如果你只是想知道如何移动，而不是为什么这样移动，那么就直接看最下面的 "决策树"。 下面的“索引”列出了文本中介绍的所有术语，可以用作快速介绍。
基础知识
术语：下面将介绍一些游戏里的新术语。
方框 是一个小正方形，有 4 个相邻的点作为角。一个方框可以有 0, 1, 2, 3, 4 条边，对应称为 0-方框、1-方框、2-方框、3-方框、4-方框。
线 是连接两个相邻点的线段。
画一条线也称为移动.
如果一条未绘制的线将 2-方框和 3-方框分开，那么绘制这条线会产生 3 种情况：完成 3-方框并因此得分，将 2-方框变为 3-方框，然后玩家可以用另一个移动来完成新的 3-方框。 这种“连锁反应”经常发生。
所有相连的 2-方框组成一个 链。一条链可以有 2 个端点，称为 线性链，无论它是否是直线，例如
+ + +---+---+ + +---+
| | , 或 | |
+ + +---+---+ +---+ +
|
+---+---+显示了有 1、2 和 4-方框的链。
一条链也可以没有端点，那么我们就称它为 环形链 或简称为 环，无论它看起来是否像一个圆，就像这个一样
+---+---+---+
| |
+ +---+ +
| | |
+---+ + +
| |
+---+---+
在链内或链的一端移动，在有关该游戏的数学文献中被称为 开链。
如果一条链被打开会发生什么？
如果玩家在链中绘制一条未绘制出的线，例如移动 A1
+---+---+---+
| |
+ +A1-+ +
| |
+---+---+那么至少一个 2-方框 变成 3-方框（这里是 A1 移动的上方和下方的方框），并且其他玩家可以在之后将这个（这些）方框变为 4-方框，获得一两个点，同时将相邻的 2-方框转换为 3-方框（这里是 B1 左边的方框和 B2 右边的方框）
+---+---+---+
| B1 |
+ +A1-+ + .
| B2 |
+---+---+每次完成一个方框时，玩家必须进行另一次移动，该移动可用于完成下一个方框和链中的所有其他方框。在完成最后一个方框后，玩家必须在其他地方再移动，除非题板上的所有方框都已完成。
初始游戏
规则 1： 最明显的玩法是避免制造一个对手可以通过完成而获得的 3-方框。 这是一个简单且有用的规则，尽管它并不完美，我们将在本网站的最后看到，在某个阶段，一旦绘制了一半左右的线条，创建一个 3-方框就变得不可避免了。然后会发生什么呢？因为有 1 个、2 个或 ≥ 3 个方框的链的处理方式不同，所以我们必须单独查看它们。
让我们先来看看只有一个方框的链。
是否应该总是完成一个 3-方框，即只有一个方框的链
+---+
| ?
+---+
是的，应该始终这样做。不管是拿到方框之后移动 A，还是不拿下方框而在 A 上连线，都对对手的行动没有影响，只是你或对手都会得到方框，所以最好是你得到方框。
有两个方框的链是什么样的，应该怎么玩？
有两个方框的链是这样的
+---+---+ +---+---+ +---+---+
或 | 或 | |
+---+---+ +---+ + + + +或它们的旋转和镜像，在那里画中线变成
+---+---+ +---+---+ +---+---+
| 或 | | 或 | | |
+---+---+ +---+ + + + +并在文献中被称为 Hard-Hearted Handout .
在这样的情况下，是否应该始终拿到两个方框？
是的，应该拿到两个方框，原因与应该总是拿到一个方框的链的原因相同。
在带有两个方框的链的边缘上画一条线会变成
+---+---+ +---+---+ | 或 | | +---+---+ +---+ +
在 Half-Hearted Handout 的边缘上移动会变成
+---+---+ | | . +---+---+
这样的移动在文献中称为
+---+---+ +---+---+ 1) to | +---+---+ +---+---+
Double Dealing(DD)
+---+---+---+ +---+---+---+ 2) | to | | +---+---+---+ +---+---+---+
。
在中间画出完成两个框的线称为 双重交叉移动。环总是由这样的移动完成，但在线性链中，它只会发生在对手使用 DD 移动以取得控制权时，如下所述。在这种情况下，玩家进行双叉动作被欺骗，即“双叉”，因此该动作的名称。
DD 之后的下一个玩家应该总是拿到两个方框吗？
一个 DD 移动会失去两个方框，因为玩家可以选择先在 Hard-Hearted Handout 的中间移动，然后在边缘上移动，以这种方式获得两个方框。那为什么要舍弃 2 个方框？继续阅读以找出答案！
像 DD 之前的 Hard-Hearted Handout 这样的移动，让对手可以选择做出舍弃，在文献中被称为 疯狂的移动。其他疯狂移动的例子是打开带有 3 个或更多方框的链的移动，因为下一个玩家也可以选择 DD 移动，我们将在下面看到。
回到 Hard-Hearted Handouts，在这样的位置上，是否应该总是拿到两个方框？ 如果没有，什么时候应该在边缘上进行 DD 移动？ 在游戏中尝试两者，看看有什么不同。
让我们思考所有的不同。 如果一个玩家拿到一个方框，那么一个玩家就应该拿到第二个方框，就像我们之前发现的那样。 如果一个玩家同时拿到两个方框，那么他会得到 2 分，但之后他必须在其他地方移动。这可能要付出很大的代价，因为他可能必须打开一个带有许多方框的链，让对手占据更多的格子。 如果一个玩家在边缘上玩，他就没有完成一个正方形，因此他不必在其他地方移动。但是在边缘上移动会给下一个玩家两个方框，就像刚才讨论的那样。 因此，两种玩法都有可能。我们以后会回到这个问题上，来确定在特定情况下哪一步移动更好。
如果玩家必须打开带有 2 个方框的链，因为所有其他移动的代价会更高，那么他应该用 Hard-Hearted 还是 Hard-Hearted Handout？
如果一个玩家在链的中间移动（Hard-Hearted Handout）， 那么另一方就被迫拿到这两个方框，之后在其他地方进行代价更高的移动。
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | | | 加上其他地方
+---+---+ +---+---+ +---+---+
如果玩家在链的边缘上移动（Hard-Hearted Handout），那么他给对手一个选择，要么像上面那样拿到两个方框，要么在边缘上移动（Double Dealing (DD) 移动）：
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | |
+---+---+ +---+---+ +---+---+
这个选择可能非常有价值，我们稍后会发现。给对手额外的选择永远不会是一个更好的移动，因此以最佳发挥为目标就永远不应该使用 Hard-Hearted Handout。在非最佳趣味游戏中，可以尝试 Hard-Hearted Handout 移动来找出对手的技巧。或者在落后的情况下迷惑对手，但如果试图以最佳方式发挥就不适用。
对于已经打开的三个或更多方框的线性链，应该怎么做？
如果一个链被打开，那么它至少有一个 3-方框。玩家可以完成这个方框，也可以完成其他的方框，但是否应该这样做？
是否有一定要从开放的线性链中拿到的方框？
一方面，我们希望尽可能多地拿到方框。另一方面，我们可能不想付出之后在其他地方移动的代价，从而为对手打开更大的链。我们肯定应该做的是拿到除了两个方框之外的所有方框，它们没有任何负面影响。之后我们可以考虑把剩下的 2 个方框也拿到或者进行 DD 移动（Double Dealing）。稍后我们将对此进行更多讨论。
有 ≥ 3 个方框的链被称为长链.。这些链包括线性链和环状链。
为什么这样的链有一个特殊的名称？
如果只剩下至少有 3 个方框的长链，那么无论以何种方式打开其中一个，都意味着在移动的至少一侧至少有 2 个相邻的方框。因此，另一个玩家可以进行 Double Dealing，这对决定游戏的剩余部分至关重要。
需要多少个方框才能组成一个环形链？
最小的环形链有 4 个方框：
+---+---+ | | + + + | | +---+---+
如果打开一个环形链，玩家可以不假思索地安全拿到除了 2 个方框之外的所有方框吗？
让我们来试试。最小的打开的环形链是
+---+---+ | | +---+ + | | +---+---+
当然我们可以拿到所有 4 个方框然后在其他地方移动，但是如果我们想不惜一切代价避免在其他地方移动呢？如果我们拿到两个方框，会得到
+---+---+ | | | +---+---+ | | +---+---+
但我们需要再次移动。所以我们不能停在这里，因为边缘上的所有线都已经画好了，所以我们必须继续到
+---+---+ | | | +---+---+ | | | +---+---+
然后我们不得不在别处移动，这可能会将更大的链交给对手。
我们还能做些什么呢？
我们想要进行一个不会完成一个方框的移动，以避免不得不在其他地方移动。唯一可能是在已打开的环形链中间移动，来得到
+---+---+ | | +---+---+ . | | +---+---+
这一步没有完成一个方框，因此接下来另一个玩家再移动。我们将这种移动称为 Double Double Dealing ，简称 DDD。代价是失去 4 个而不是 2 个方框。对于对手来说，最好是拿到 4 个方框，然后在其他地方移动。
如果一个开放环形链有 4 个以上的方框怎么办？
只要我们之后仍然可以进行不会完成一个方框的移动，就可以拿到任意多的方框。 这意味着我们可以拿到除了 4 个方框之外的所有方框，例如，打开
+---+---+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+ + 得到，例如， + +---+---+ + | | | | +---+---+---+---+ +---+---+---+---+
并拿到 8 − 4 = 4 个方框，例如，
现在我们必须决定是拿到剩下的 4 个方框，还是通过移动将它们送给对手
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | | +---+---+---+---+
稍后再讨论。
在只有一条链子打开或不大可能有几条链子打开的情况下，在不考虑 DD 移动或不进行 DD 移动的情况下，可以安全地拿到多少个方框？如果至少有一个开放的 线性链 有两个相邻的方框，那么就完成这个链的所有其他方框，并完成所有其他开放的线性链和环形链的所有方框。否则，如果只有一个或多个开放的环形链，那么就完成一个开放的环形链中除四个方框外的所有方框，并完成所有其他开放的环形链的所有方框。 完成这些方框之后，就可以开始考虑要不要进行 DD/DDD 移动。
我们了解到，游戏开始时或多或少是随机移动，除了两个玩家都尽可能避免创建 3-方框，即避免打开链。当这变得不可避免时，我们将其视为终局..的开始。我们从它开始，因为它是所有游戏中最简单的部分。
终局
与所有其他游戏一样，越接近结束，就越容易预测在最佳比赛下谁会赢以及赢多少。因此，我们从游戏的最后开始分析。 在终局中，所有的移动要么是打开链或完成方框，要么是 DD/DD 移动。 当玩家必须打开链时，策略的第一个想法可能是打开可用链中最小的一个，给对手最少数量的方框。让我们在几个例子中试一下。
例 1
假设除了两条有 3 个和 4 个方框的链子外，所有的方框都已完成：
+ +---+---+ | | | | + +---+---+ | +---+---+---+ +---+---+---+
接下来移动的玩家 A 将打开较短的链（移动 A1），让另一个玩家 B 利用该链获得 3 分，然后 A 获得带有方框的较大链，这两条链的得分是 A:B=(0+4):(3+0)=4:3。
+A9-+---+---+ | | | | +A8-+---+---+ | B5 A6 A7 +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
顺便说一句，A1 移动就是我们之前定义的疯狂移动，让对手可以选择做出牺牲。
但是玩家 B 很聪明，只用 B2 拿到一个方框（见下图），然后用 B3 进行 Double Dealing。然后 A 需要拿到 A4 的 2 个方框，被迫用一些移动打开大链，比如 A5，B 得到剩下的 4 个方框，最终得分为 A:B = (2+0):(1+ 4)=2:5。
+B9-+---+---+ | | | | +B8-+---+---+ | A5 B6 B7 +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+我们看到，在这种情况下，B 舍弃两个方框是有利的。
例 2
假设所有的方框都完成了，除了一个带有 3 个方框的链和一个带有 4 个方框的环形链。
+---+---+---+ | | | + + +---+ | | | +---+---+---+ +---+---+---+玩家 A 下一步移动。
情况 1：A 打开带有 3 个方框的链。
如果在 A1 之后，玩家 B 拿下整条链，那么玩家 A 得到了环形链，这两条链的得分是 A:B = (0+4):(3+0) = 4:3。
+---+---+---+ | A7 | | +A6-+A8-+---+ | B5 | | +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
如果在 A1 之后，玩家 B 进行 DD 移动，那么之后
+---+---+---+ | B7 | | +B6-+B8-+---+ | A5 | | +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+这两条链的得分是 A:B = (2+0):(1+4) = 2:5，所以这里 B 进行 DD 移动也是有利的，得到 A:B = 2:5。
情况 2：A 用 4 个方框打开环形链。
如果在 A1 之后，玩家 B 拿到了整个环形链，玩家 A 得到了较短的链，这两条链的得分是 A:B = (0+3):(4+0) = 3:4。
+---+---+---+ | B3 | | +B2-+B4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B5 A6 A7 A8 +---+---+---+
如果在 A1 之后，玩家 B 用 B2 进行 DDD 移动，可以得到
+---+---+---+ | B2 | | +A3-+A4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B6 A5 B7 B8 +---+---+---+这两条链的得分是：A:B = (4+0):(0+3) = 4:3。在这种情况下，B 最好不要进行 DDD 移动，否则会得到 A:B = 3:4。
从这两种情况中能学到什么？
在第二种情况下，可以看到在环形链中采取 DDD 的代价很高（4 个方框），这使得最好不要采用它，而是拿到整个环形链。 那么在这个情况下玩家 A 应该打开哪个链呢？A 最好打开得到 A:B = 3:4 的环形链，而不是打开得到 A:B = 2:5 的三个方框的链。 我们已经知道，如果涉及到环形链，就不应该简单地按大小（方框的数量）对链进行排序，以决定先开哪条链。但如果是环形链的话，按大小− 2 来排序在这里也是可行的：4−2 = 2 < 4。
例 3
在这个例子中，我们想了解更多关于链应该被打开的顺序。 假设所有的方框都完成了，除了两条带有 3 和 4 个方框的线性链和一个带有 4 个方框的环形链，如下所示：
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+玩家 A 下一步移动。很明显，如果有 3 个方框的线性链，A 不会打开更大的 4 个方框的线性链。
情况 1：A 打开了有 3 个方框的链。
在决定玩家 B 的最佳移动之前，让我们检查一下其他两条链中的哪一条应该首先被打开：
+---+---+ +---+ | | | + + +---+ + | | | | +---+---+---+ + | | | | +---+---+---+---+
假设玩家成为 C 和 D，然后 C 移动。
情况 1.1：C 打开环形链
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| C1 | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ 如果在 C1 之后，玩家 D 在 D2 采用 DDD，那么之后
+---+---+C5-+---+ | D2 | D6 | +C3-+C4-+---+D7-+ | C1 | | | +---+---+---+D8-+ | | | | D9 +---+---+---+---+
这两条链的得分是 C:D = (4+0):(0+4) = 4:4。如果 D 没有采用 DDD，而是拿下环形链，那么之后
+---+---+D5-+---+ | D3 | C6 | +D2-+D4-+---+C7-+ | C1 | | | +---+---+---+C8-+ | | | | C9 +---+---+---+---+
这两条链的得分也是 C:D = (0+4):(4+0) = 4:4。
情况 1.2：C 打开了 4 个方框的链
+---+---+C1-+---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ 如果在 C1 之后，玩家 D 拿下整条链，那么之后
+---+---+C1-+---+ | C8 | D2 | +C7-+C9-+---+D3-+ | D6 | | | +---+---+---+D4-+ | | | | D5 +---+---+---+---+
得分是 C:D = (0+4):(4+0) = 4:4。如果在 C1 之后，玩家 D 在 D4 采用 DD，那么之后
+---+---+C1-+---+ | D8 | D2 | +D7-+D9-+---+D3-+ | C6 | | | +---+---+---+C5-+ | | | | D4 +---+---+---+---+得分是 C:D = (2+0):(2+4) = 2:6。在 C1 之后，D 能得到的最好成绩是 C:D = 2:6。
我们从这两个情况中学到了什么？
对于下一个玩家（C）来说，最好是打开得到 C:D = 4:4 的环形链，而不是只得到 C:D = 2:6 的线性链。如果我们按照大小− 2 对链进行排序，来决定哪个先被打开，那么（4−2）= 2 < 4 将得到正确的结果。{} 我们现在可以决定 B 的最佳玩法，即
+---+---+- +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
A1 |
+---+---+ +---+
B 应该拿下链还是采用 DD？
如果 B 拿到链，那么之后
+---+---+A9-+---+ | A7 | B10 | +A6-+A8-+---+B11+ | B5 | | | +---+---+---+B12+ B2 A1 B3 | B13 +---+---+B4-+---+
这 3 条链的得分是 A:B = (0+4+0):(3+0+4) = 4:7。如果 B 用 B3 代替 DD，那么之后
+---+---+B9-+---+ | B7 | B10 | +B6-+B8-+---+B11+ | A5 | | | +---+---+---+B12+ B2 A1 A4 | B13 +---+---+B3-+---+
这 3 条链的得分是 A:B = (2+0+4):(1+4+0) = 6:5。所以 B 在 A1 之后能达到的最好成绩就是 B 不下 DDD 得到的 A:B = 4:7。 在这两种情况下，我们都采取了先前的发现，即接下来应该打开环形链。
在这两种情况下，我们都采取了先前的发现，即接下来应该打开环形链。
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| A1 | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+
情况 2.1：B 拿下整个环形链。
很明显，小一点的链应该使用 DD，得到
+---+---+B9-+---+ | B3 | A10 | +B2-+B4-+---+A11+ | A1 | | | +---+---+---+A12+ B5 A6 B8 | A13 +---+---+A7-+---+这 3 条链的得分是：A:B = (0+1+4):(4+2+0) = 5:6。
情况 2.2: B 舍弃了环形链。
同样的，小一点的链应该使用 DD，得到
+---+---+A9-+---+ | B2 | B10 | +A3-+A4-+---+B11+ | A1 | | | +---+---+---+B12+ A5 B6 A8 | B13 +---+---+B7-+---+这 3 条链的得分是：A:B = (4+2+0):(0+1+4) = 6:5。
从情况 2.1 和 2.2 中能学到什么？
由于在环形链中使用 DDD 的成本很高，因此对 B 来说最好的方法是让整个环形链得到 A:B = 5:6 的分数。
从情况 1 和 2 中能学到什么？
我们有两个带 3 和 4 个方框的线性链和一个带 4 个方框的环形链。最好让 A 打开环形链并得到 A:B = 5:6 的分数。如果 A 打开带 3 个方框的链，那么只会得到 A:B = 4:7。很明显，对 B 来说，在有 3 个方框的链之前打开有 4 个方框的链是最佳的。 因此，仅按照大小对链进行排序以确定接下来要打开哪个是行不通的。但是如果是环形链，则按大小对它们进行排序− 2 似乎有效，因为 (4−2) = 2 < 3 表明应该首先打开环形链。
打开链的顺序
有了从上面的例子中获得的经验，我们现在要解决的问题是确定链的打开和完成顺序。这个链的顺序将在下面用于确定其中一个玩家何时使用 DD/DDD，谁将赢得比赛以及赢多少。 好消息是，在终局时，这个打开链的顺序并不取决于轮到谁或之前谁使用过 DD/DDD。 原因是在游戏中的任何时候，只有已经绘制的线才是重要的，而不是由谁绘制的，也不是按什么顺序绘制。甚至当前的分数也不会影响未来的最佳发挥。 将一个困难的问题分解成更容易的问题已经是一种成功。在这种情况下，确定谁在终局走哪一步的艰巨任务被分成了两个问题：打开链的顺序问题，以及谁走 DD/DDD 以及何时走的问题。 在我们开始之前，需要考虑一下终局的总体趋势。
已被打开的链的“价值”在终局时会减少还是增加？
给对手一个打开的链。因此，链应该具有尽可能少的“价值”，这里的 "价值"一目了然就是方框的数量。因此，在游戏结束的过程中，打开的链的“价值”只能上升或保持不变，但不会减少。 在上面的例子中，我们看到打开最少的方框的链让对手拿走是行不通的。但是我们可以通过一些“价值”对链进行排序，因为每个玩家都想为对手打开价值最低的链。对于对手来说，链的价值不仅包括方框的数量，打开的链是否适合在其中采用 DD / DDD 也很重要。调整到适合采用 DD 的一个好办法是，如果是一个环形链，就从方框的数量中减去 2。因此，根据 "价值"对链进行排序，如果不是一个环形链，我们取“价值”=方框数，如果是环形链，则取“价值”=方框数 − 2。
我们从题板位置开始，每个方框至少有两条边被画出来。为此，我们可以制定两条规则来排列所有的链。
规则 2： 为了给链排序，最后一条链取最大的线性链，如果没有线性链，则取最大的环形链。
规则 2 的理由
被控制的玩家不会打开链，因此不会对链进行排序。因此，任何对链进行排序的玩家都想让对手夺取或保持控制权（即采用 DD/DDD 移动）的成本尽可能高。一个 DD 移动需要消耗 2 个方框，一个 DDD 移动需要消耗 4 个方框。除最后一条链之外，所有链都必须付出这个代价。因此，为了使对手的总代价最大化，在链的排序中，如果可能的话，最后一条链应该是线性的，而不是一个环形链。 ∎
规则 3： 如果在终局所有的方框都至少有 2 条边被画出来，那么为了对所有其他链进行排序，按照（方框的数量 − 2，如果是环形链的话）对它们进行排序。
规则 3 的理由
对于下一个取得或保持控制权的玩家来说，如果是线性链，一条链的价值是其方框的数量 − 2；如果是环形链，则是其方框的数量 − 4。为了给链排序，如果只在环形链的情况下减去 2，就会得到同样的结果。 如果对手没有控制权，也不会在下一回合取得控制权呢？根据这个排序，接下来对手将移动到多两个方框的打开环形链中，而不是得到一个具有相同 "价值"但方框较少的线性链，这对于对手来说没有好处吗？不！如果对手完成了整个环形链，那么之后轮到这名玩家的时候，将减少一个环形链，控制后价值会减少两个方框。∎ 我们在例 3 的情况 2.1 中看到了这种效果，在玩家 A 用 A1 打开环形链后，玩家 B 占据了整个环形链，但结果是，A 之后可以用 A7 控制并获得最佳结果。
如果所有方框都属于一条链，则上述规则很明确，即如果所有方框都至少绘制了 2 条边。但是，如果有 0-方框和 1-方框怎么处理？
这些方框属于哪条链？
规则 4： 要建立按价值排序的链序列，执行以下循环移动，直到完成整个题板。
- 打开其中一条价值（方框的数量，如果是环形链，则方框的数量 −2）最小的链，但有一个例外：如果仍然有至少一个环形链，无论是连接的还是断开的，如果只有一个断开的线性链且没有仅含线性链的连接树，那么就不要打开最后一个断开的线性链。
- 在不计算方框数量的情况下完成打开的链。在线性链的末端画线可能会将 1-方框变为 2-方框，从而合并两个线性链或切断环形链。
如果在终局中仍然有 0-方框和 1-方框，那么我们可以把这样的方框看作是一个点，并把链看作是以这样的点为终点的线，或者以题板边缘为终点，然后得到一个人为的额外的点。
用线把点连接起来在数学上称为图形。
规则 4 中的例外情况用'图形语言'表述来说就是：如果剩余的图形有一个含环形链的断开部分，且断开部分都包含一个环形链（因此在图形用语中称为“树”），则不要打开与剩余图形断开的线段对应的线性链。
例 4：像“T”的图形
1-方框中有“T”：对应于这个题板的图形就像一个有 4 个点的 T，一个是 T 中的 − 和 | 相交处，另外 3 个点在 T 的末端。
连接在 1-方框左侧 的 3 条链中最小的一条。打开它并完成它
+---+---+---+ + +---+---+---+ + | | | | | | | + + + + + +---+ + + + | | | | | | | | +---+ +---+---+ +---+ +---+---+ | | | | | | + +---+---+ + +---+---+---+ +
可以看到，题板上有两条线性链，一条是 3 个方框，一条是 9 个方框。
例 5：一个像 "P"的图形
1-方框中有“P”：
+---+---+---+---+ | | + +---+---+ + | P | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
在 1-方框的上方或右侧连线会产生并打开一个有 12 个方框的大型线性链
+---+---+---+---+ | | +---+---+---+ + | | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
这是不希望带给对手的情况。在1-方框下面画线会把题板分割成一条有 4 个方框的开放线性链和一个有 8 个方框的环形链。
+--+--+--+--+ | | + +--+--+ + | | +--+--+--+--+ | | +--+--+--+ +
在上述规则 4 中制定了一个例外，下面的例子说明了这个例外。
例 6：一个 'P' 图形加一个不相连的线性链
两条线性链可以被打开，一个在右边，一个在下面。
+---+---+---+---+ + | P | | + + +---+ + + | | | | + +---+---+---+ + | | | +---+---+---+ + +
情况 1. 先打开最短的那条链
已经进行了 21 步，因此如果是玩家 A 开始，则轮到玩家 B 移动。
如果在用 B1 打开最小的链后，玩家 A 立即获得控制权，可以得到
+---+---+---+---+B1-+ | B5 B12 | | +A6-+ +---+ +A2-+ | | | | +A7-+---+---+---+B4-+ | A8 A9 B11 | | +---+---+---+A10+A3-+
和 A:B = (1+4+6):(2+2+0) = 11:4 的得分，其中 (2+2+0) 意味着玩家 B 从该顺序打开的 3 条链中得到 2、2、0 个方框。因为 B 只能用 B5 打开第 2 条线性链，所以玩家 A 可以用 A10 保持控制，代价只有 2 个方块，并免费获得环形链。
情况 2. 先开较长的线性链
在 B 用下面的 B1 打开较长的链并且这条链完成后，谁得到最后一个方框就必须打开一条链。根据我们的规则 2，玩家 B 接下来用 B8 打开环形链，使控制/保持控制的代价很高。这种策略是有效的，因为在环形链中控制/保持控制对玩家 A 没有意义，因为它要花费 4 个方框，但在最后一条链中只能赢得 3 个方框。
+---+---+---+---+A14+ | B1 A13 B8 | | +A2-+A12+---+A9-+B15+ | | A11 A10 | | +A3-+---+---+---+B16+ | A4 A5 B7 | | +---+---+---+A6-+B17+
得分是 A:B = (4+6+0):(2+0+3) = 10:5
如果 A 在第一条链中不使用 DD：
+---+---+---+---+B14+ | B1 B13 A8 | | +A2-+B12+---+B9-+A15+ | | B11 B10 | | +A3-+---+---+---+A16+ | A4 A5 A6 | | +---+---+---+A7-+A17+
那么得分 A:B = (6+0+3):(0+6+0) = 9:6 对 A 来说会更糟。因为在环形链打开后的移动（上面的 B9）价值 6−3=3 分，在第一条长链中取得控制权只需要 2 分，所以在第一条链中取得控制权是值得的。对于玩家 A 来说，10:5 比 9:6 好。
当比较情况 1 和 2 以及 11:4 和 10:5 的两个分数时，显然玩家 B 应该先打开较长的链。原因是如果 B 先打开断开的线性链，那么环形链将最后完成，这意味着玩家 A 在环形链中使用 DDD 时不必损失 4 分来保持控制权。我们将违反之前的规则 2。 一般来说，可以证明，如果断开的链有 m 个方框，连接的线性链有 n 个方框，环形链有 p 个方框，那么玩家 B 首先打开断开的链就可以从 2 次 DD 中得到 4 分，而当 B 打开连接的线性链时， B 得到
最小值(p + 最大值(0,m-4),最小值(6,m+2))
很多分数。可以采用的最小值是当 p 的最小值为 4（一个环形链至少有 4 个方框）并且 m 的最小值为 3（最短的长线性链，如果最短的链只有 2 个方框立即使用 Hard-Hearted Handout，公式会有所不同）。对于 p = 4 和 m = 3，玩家 B 会得到
最小值(4 + 最大值(0,-1),最小值(6,5)) = 最小值(4+0,5) = 4
而对于 p > 4 或 m > 4 玩家 B 将获得超过 4 分。
如果有不同的等价链具有相同的最低值怎么处理？
如果不同的链具有相同的最低值，那么我们的程序会使用规则打开一个连接的链。背后的想法是，有可能通过这条打开的链，可以进入一个环形链，这会使取得控制/保持控制变得代价更高。
在游戏中，人们通常通过在终局开始时使用 DD/DDD 来取得控制。但是如果有很多 3 个方框的链和少于 8 个方框的环形链，那么最好不要使用 DD/DDD，也不要取得控制。因此，我们需要一个通用算法，而不仅仅是凭经验估算。
什么时候应该使用 DD/DD，什么时候不应该使用？
在 Dots 游戏的文献中，第一次采用DD/DDD 也被称为夺取控制权.。这意味着玩家可以控制谁会获得最后一个长链，这可能与控制游戏并通过不采用 DD/DDD 来赢得游戏不同，我们将在下面看到。
当玩家可以选择使用 DD/DDD 时，该玩家可以选择以 2 分 (DD) 或 4 分 (DDD) 的代价与对手互换角色。如果知道在剩余链中以最佳方式玩可获得的分数，那么可以决定现在是否值得以 2（如果当前是线性链）或 4 分的代价（如果当前是环形链）来交换角色是否值得。再加上当前链的得分，就可以确定打开当前链之前的分数。 如果知道打开链的顺序，就可以从游戏结束开始逆向计算。这样的顺序可以通过上面的规则 4 确定。
规则 5： 通过下面的伪代码决定是否采用 DD/DD。
在下面的伪计算机代码中，变量 A 是打开下一条链的玩家在剩余游戏中获得的分数，变量 B 是另一位玩家获得的分数。剩余的箱子数是 A+B。 我们向后计算并且为方便起见，将链向后标注：游戏中最后打开的链是链 1，之前的链是链 2，以此类推。当前链是链 k。任何链 j 都有 n_j 个方框。变量 playDD 记录链 j 中是否使用 DD/DDD。
在以下伪代码行中
- (1)-(3) 将 3 个变量初始化为下最后一条链的结果。
- (4)-(22) 更新链 j 的 A、B、下 DD，其中 j 从最后一条链 (j=2) 向后运行到当前链 k。
- (5)-(13) 如果链 j 是线性链，则代价为 2
- (14)-(22) 如果链 j 是环形链，则代价为 4
- (6)-(9), (15)-(18) 如果增益 B−A 大于代价 (2 或 4) 则采用 DD 并减少 B 的代价，并将其添加到当前链 A 中。在任何情况下，B 得到 n_j。
(1) A = 0
(2) B = n_1
(3) playDD = 错误
(4) 对于从 j 到 2 的每个链 k:
(5) 如果链j是线性的:
(6) 如果B > (A + 2):
(7) playDD = 正确:
(8) B = B + n_j - 2
(9) A = A + 2
(10) 否则:
(11) playDD = 错误:
(12) B = A + n_j
(13) A = B
(14) 否则 → 如果链j是一个环:
(15) 如果B > (A + 4):
(16) playDD = 正确
(17) B = B + n_j - 4
(18) A = A + 4
(19) 否则
(20) playDD = 错误
(21) B = A + n_j
(22) A = B
经过这个计算 A 是打开当前链的玩家的分数 B 是对手的分数，并且 playDD 表示对手现在是否应该采用 DD/DDD。 ∎（规则 5 结束）
这个伪代码对于非程序员来说可能看起来很难，但它很容易在脑海中执行，因为它只是意味着检查保持控制的好处是否超过它的代价，即采用 DD/DDD 的成本。
测试题
我们知道，价值最低的链会先被打开。这是否意味着在游戏的最后阶段采用 DD/DDD 会变得更加有利？
换句话说，现在采用 DD/DDD 是否总是意味着需要一直下到最后，否则对手就会夺取控制权并获胜？
在几乎所有情况下，是的。但我们在 例 6 的情况 2 中看到，只有在完成更高价值的线性链之后，才能访问一些低价值环形链。结果是，尽管在环形链打开时没有足够的动机去下 DDD（最后一条链只有 3 个方框，而 DDD 要花费 4 个方框），但有足够的动机去更早地采用 DD，因为它的代价只有 2。
测试题
假设有人正在正确评估是否采用 DD/DDD。他们决定使用它并获得最后一条链。
这个玩家一定会赢吗？
不会。例如，假设我们有 5 条线性链，每条链有 3 个方框。获得最后一条可以获得 3 个方框的奖励，这足以支付 3 个 DD 的成本，每个花费 2 个但获得 1 个方框。这意味着第一条链已经完成，再下 3 次 DD，没有得到最后一条链的我就的得分是 (3+2+2+2+0) : (0+1+1+1+3) = 9:6。
我们玩终局的规则是否完美？
不。当一个有许多通过 0-方框 和 1-方框连接的链时，它们中的几个可能具有相同数量的方框，然后可能需要更精细的理论或搜索来选择最佳的链，通过完成第一条链可以访问其他链。
长链规则
规则 6：第一个玩家应该尝试使点数+长线性链的数量为偶数，第二个玩家应该尝试使这个值变为奇数。
该规则的理由
首先，介绍一些变量，其中 “#” 代表“数字”
nt = 回合数（一个玩家进行相应移动的次数）
nd = 点的数量
r = 点的行数
c = 点的列数
nl = 线的数量
nb = 方框的数量
nc = 长链的数量
nz = 在终局中打开第一条长链的回合数
在终局中打开第一条长链的回合数
nb = (r−1)(c−1) = rc − r − c + 1
nd = rc
nl = 水平线的数量 + 垂直线的数量
= r(c−1) + c(r−1)
= 2rc − r − c
因此
nl = nb + nd − 1 .
这种关系等同于欧拉恒等式，它对任意图形有效，即任意数量的点由任意数量的垂直或水平线段 nl 连接，围绕形成 nf 个面，在我们的例子中，nf = nb + 1，因为点组成的矩形网格多出来一个面，所以也被算在欧拉恒等式中：
nl − nd + 2 = nf (= nb + 1).
接下来我们计算整个游戏的回合数。
nt = nl − ((绘制一条线完成至少 1 个方框的次数)
− 1 {完成最后一个方框，玩家不会再移动了。})
= nl − (nb − (完成最后一个方框，玩家不会再移动了。) − 1)
= nl − nb + 1 + (完成 2 个方框的移动次数)
= nd {使用之前的关系 nl = nb + nd − 1}
+ (线性链中的 DD 数) + (环形链数) + (环形链中的 DDD 数)
最后一行的结果是，当完成一个环形链时，最后一步总是会完成两个方框，如果在环形链中下 DDD，那么另一个一点也会完成 2 个方框。推导出的关系是
nt = nd + (线性链中的 DD 数) + (环形链数) + (环形链中的 DDD 数)
是一个没有近似值的精确规则。
计算 nz，这是打开第一条长链的回合
在终局的第一条长链打开后，如果没有使用 DD 和 DDD，那么剩下的回合数就等于长链的数量，因为每个玩家都完成了一条长链。因此，如果 (DD 的数量) = (DDD 的数量) = 0，那么
nz {在终局中打开第一条长链的回合数}
= nd + (环形链的数量) − (长链的数量)
= nd − (长线性链的数量)
如果采用 DD/DD，那么 nz 的公式也有效。
原因是：
采用 DD/DDD 的任何玩法都无法改变之前已经发生的事情，即导致在终局中打开第一条长链的 nz 回合。每采用一次 DD 和 DDD，终局中的回合数增加 1（请验证），因此当从总回合数中减去终局的回合数时， (DD 的数量) 和 (DDD 的数量) 将各自被取消，我们将得到与不下 DD/DDD 相同的 nz 值。
所以没有玩家想要采取这种移动，即第一个玩家不希望 nz 是奇数，因此希望 nz 是偶数。2×(长线性链的数量#) 是一个偶数，因此将它加到 nz 并不会改变 nz 是奇数还是偶数，最终导致
长链规则： 第一个玩家尝试使（点的数量#）+（长线性链的数量#），而第二个玩家试图使其变为奇数。 ∎
长链规则的错误推导
在一些关于 DOTS 游戏的出版物中，在推导出长链规则时做了两个不必要的假设。
1. 假设：如果两个玩家都以最佳方式进行终局，那么最后一步移动的人获胜，因为最后一条最大的链的价值很高，并且不必再次移动并为对手打开另一条链。
所以第一个玩家希望 nt = (回合数) 是奇数，以便能够进行出第一步和最后一步移动并获胜。
2. 假设：除最后一条链外，所有长链都使用 DD/DDD。因此 (环形链的数量) + (环形链中 DDD 的数量) 是偶数并且可以忽略不计，且 nt = nd + (线性链中 DD 的数量) 变为 nt = nd + (长线性链数) − 1。因此第一个玩家希望这个 nt 是奇数，以便能够进行最后一步，即当（点的数量）+（长线性链的数量）是偶数 - 长链规则。 ∎
但是我们知道，这两个假设并不是长链规则的必要条件。下一个例子将证明这一点。
一个玩家的规则可以保证哪种成功？
长链规则提供了一个必要且充分的条件，来决定终局第一个打开长链的玩家。该玩家 P 可以选择是否采用DD/DDD。有两种情况。
如果第一条长链是线性的，那么它至少有 3 个方框，而采用 DD 的成本是 2 个方框。
• 如果采用 DD 的奖励是 <2，那么玩家 P 就不会采用 DD，而是拿下整个第一条链，而对手将从剩余的链中最多得到 1 个方框，所以 P 在终局中至少比对手多得到 3−1 = 2 个方框。
• 如果奖励是 2，那么 P 在第一条长链中是否采用 DD 并不重要，因此在终局中多获得 ≥3 个方框。
• 如果奖励是 >2，那么 P 就采用 DD，在终局中多得到 >3 个方框。
如果第一条长链是一个循环 那么在最坏的情况下，第一条链有 4 个方框 且 奖励是 4，那么无论是否采用 DDD，双方在终局都会得到相同的分数。但如果奖励是 >4，那么采用 DDD 会得到更多的分数，如果奖励是 <4，那么不采用 DDD 会得到更多的分数，因为这个循环至少有 4 个方框。而如果第一条长链是一个有 4 个以上方框的循环，那么 P 将获得这些额外的分数，作为终局的优势，即使奖励是 4 个。
在终局开始时，可能的分数差异是多少？
• 如果 1-链的数量是偶数，线性 2-链的数量则是偶数，则在终局开始时的分数差为零。
• 如果 1-链的数量是偶数，线性 2-链的数量则是奇数，则终局开始时的分数差为 2。
• 如果 1-链的数量为奇数，则在完成所有 1-链之后，分数差为 1。然后，每完成一个2-链，只会在双方之间翻转，谁领先 1 个方框。
那么，长链规则有多重要？
什么时候长链规则不能决定结果？
那么此时应该遵循哪条规则呢？
例 7：在一个非常规的情况下测试规则
在这个题板上，已经进行了奇数的 5×3 = 15 步移动。第 16 步将打开第一个满足我们推导公式的长链：16 = （点的数量）-（线性长链的数量）= 20 − 4。走这一步的人，在这种情况下是玩家 B，如果玩家 A 恰好采用 DD，就会输。
+-B-+ + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + +
玩家 A 开始，玩家 B 现在必须打开一条链。
玩家 A 开始，玩家 B 现在必须打开一条链。
如果 A 采用 3 次 DD，那么最后的得分是 A:B = 6:6。
+---+---+---+---+ | A | A | A | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+
最后 3 条链的得分是 5:4，所以在第一条链中采用 DD，用 2 分来换取 1 分并不是最佳选择。
如果采用两次 DD，分数是多少？
对 A 来说，最好是拿下整个第一条链，得到的最终分数是 A:B = 7:5。
+---+---+---+---+ | A | B | B | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+
违反了长链规则错误推导的哪个假设？
两个假设都被违反了。A 赢了，但没有得到最后一条链。DD 并不是在每个长线性链中都使用。
长链规则是否仍然适用于这种最佳玩法？
我们得到（点的数量）+（长线性链的数量）= 20 + 4 = 24，这是偶数，并且按照规则预测，第一个玩家将会获胜。因此，该规则比具有不必要假设和误解的替代证明要好。
测试题
最佳玩法是否需要采用 DD/DDD 或不采用 DD/DDD？
不，两者都可以同样好。在只有两条有 3 个方框的长链的情况下，A 需要采用 DD，得分是 A:B = 4:2。
+-B-+ + +---+---+ | | | | A | A | + + + +---+---+ | | | → | B | A | + + + +---+---+ | | | | B | A | + + + +---+---+
因此，在这两条链之前采用 DD 的结果是 4 − 2 = 2，等于采用 DD 的成本。因此，这两种玩法的得分相同：4:(2+3) = 4:5 = (2+2):(4+1)
+---+---+---+ +---+---+---+ | B | A | A | | B | B | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | = | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+
测试题
在最佳玩法下，会不会发生玩家反复开始和停止采用 DD/DDD 的情况？
会。增加一条有 3 个方框的链后，分数从 4:2 变为 4:(2+3) = 4:5。在这 3 条链之前采用 DD 的结果将是 5−4 = 1 < 2，因此小于采用 DD 的成本，即 2。因此，对于4 条有 3 个方框的链，第一条不会采用 DD。如果再有一条 3 个方框的链，分数将变为 (4+3):5 = 7:5 = (4+1):(5+2)，因此在 5 条 3 个方框的链中第二条采用 DD 的结果是 7−5 = 2，所以采用 DD 是可以的，在两种情况下的分数是 (2+5):(1+7) = 7:8 = 7:(3+5) 。
+-B-+---+---+---+ | A | B | B | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+
通过增加 3 个方框的链，玩家可以在采用和不采用 DD 之间有更多的变化。
是否满足长链规则？
我们鼓励读者用更多涉及环形链的例子来检验长链规则。
例 8：应用长链规则
在 David Wilson 的这个网站上，显示了以下局面，下一个玩家只要一步移动就可以获胜。
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
|
+ +---+ +
如果两个玩家都遵循我们的终局规则，谁会赢？
该题板有偶数个点和偶数条长链。最后一条长链将没有 DD 移动，因此通常会采用出奇数个 DD 移动，因此点的数量 + DD 的数量为奇数，因此回合数为奇数，所以第一个玩家将获得最后一条链，并获胜。这符合“长链规则”：“第一个玩家应该努力使点的数量 + 长（线性）链为偶数，而第二个玩家应该努力使它变为奇数。”
第二位玩家可以做什么？
第二个玩家不能改变点的数量，而是通过牺牲 2 个方框并下标记为 B 的移动来改变 DD 的数量，这是第二个玩家在这种情况下唯一的获胜移动：
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
| B
+ +---+ +此移动将长链的数量从 2 减少到 1，从而使点的数量 + 长（线性）链的数量为奇数，从而使第二名玩家赢一分而不是输一分。
游戏怎么继续呢？
以下变化都导致 A:B = 4:5，因此 B 赢得 1 分。
+A8-+B4-+A5-+ B9 | B13 B14 +A3-+A12+---+ A11 B10 B15 B16 +---+---+---+ | B A2 A7 +A1-+---+B6-+ +A5-+A10+B6-+ B13 | B9 A11 +A12+A3-+---+ B4 B14 B15 B16 +---+---+---+ | B A2 B8 +A1-+---+A7-+ +A5-+B4-+B6-+ A10 | B13 B14 +B9-+A13+---+ A11 A3 B15 B16 +---+---+---+ | B A2 B8 +A1-+---+A7-+
做出这一移动确实违反了规则 1，即如果不是真的必要，就不要创造 3-方框。违反规则 1 有多糟糕？
这种违反规则 1 的做法，不亚于采用 DD。正如我们之前发现的，为了转换角色，采用 DD 并付出 2 分的代价是正常的。因此，如果它具有与 DD 移动相同的效果，那么这种牺牲是最小的并且很好。
在本页的上述部分介绍了技术术语并制定了规则。详细描述了终局，并且对于了解游戏的第一部分，长链规则提供了指导。如果您想了解更多关于游戏第一部分的信息，请查看参考资料中的 [2] 和 [3]。下面的决策树总结了此网页的内容。
决策树
- 如果至少有一个 3-方框（一个可以完成的方框），则找出所有连接到这些 3-方框的链。
- 如果这些链之一是线性链并且具有至少 2 个相邻的方框，那么完成所有线性链和所有环形链中的所有方框，除了该线性链的两个相邻方框。然后 分析是否要采用 DD a和要么采用 DD，要么完成最后 2 个方框。
- 如果所有链的长度都是 1 或者是环形链，那么首先完成所有长度为 1 的链，如果至少有一个环形链，则完成所有环形链，除了其中一个环形链的最后 4 个方框。然后 分析是下 DDD还是完成最后 4 个方框。
- 如果没有可以完成的方框，那么
- 如果每一步移动都会产生一个 3-方框，那么
- 如果最短的链是 2-链
+---+---+ +---+---+
其中两条未绘制的线可以在任何地方但不在同一个方框中，然后在中间使用移动来达到：+---+---+ | +---+---+ - 否则，确定下一个要打开的链 并在此链中的任何位置移动。
- 如果最短的链是 2-链
- 如果一步移动不会产生一个 3-方框，那么
- 如果在游戏中，最多只有一条长链（线性或环形），例如，因为矩形的点很小或很窄，那么就不会有 DD/DDD 的移动，那么最后一回合的玩家就赢了，由于回合数公式，第一个玩家应该尽量使点的数量# + 环的数量#之和为奇数，第二个玩家为偶数。因为点的数量是固定的，所以只能尝试分别得到 0 和 1 个环。如果这是不可能的，那么就改变谁先玩。
- 如果很清楚在游戏结束时将存在多少条线性链，并且如果 长链规则预测会输掉游戏，那么考虑做出舍弃移动以减少长链的数量，否则
- 如果不清楚游戏结束时将有多少条长链，那么作为第一个我就，应尽量使点的数量 + 长（线性）链的数量为奇数，作为第二个玩家就，应尽量使其为偶数。
- 如果每一步移动都会产生一个 3-方框，那么
参考文献
[1] 参考文献: Dots and Boxes, 参见那里的其他参考资料。
[2] Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (1982), "第 16 章：Dots-and-Boxes",Winning Ways for your Mathematical Plays, 第 2 卷：Games in Particular, Academic Press, 第 507–550 页。
[3] Berlekamp, Elwyn (2000), The Dots-and-Boxes Game: Sophisticated Child's Play, AK Peters, Ltd, ISBN 1-56881-129-2.
[4] Wilson, David, Dots-and-Boxes Analysis Results, University of Wisconsin
索引
- # ...
- ...的数量
- 方框
- 一个有 4 个相邻的点作为角的小方块
- ?-方框
- 0-方框, 1-方框, 2-方框, 3-方框, 4-方框是指画有 0, 1, 2, 3, 4 条边的方框。
- 链
- 一个由相连的 2-方框组成的序列。有线性链 和 环形链。
- 双重交叉移动
- 一次完成两个相邻框的移动。它在线性链中的Double Dealing 移动后或linear chain完成后立即使用。
- DD
- Double Dealing的缩写
- DDD
- Double Double Dealing的缩写
- Double Dealing
- 在Half-Hearted Handout 的边缘上移动导致
+---+---+ | | . +---+---+
- Double Double Dealing
- 在打开的 环形链 中移动，剩余 4 个方框，形成，例如，
+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | +---+---+ 或 +---+---+---+---+ 或 | | +---+---+ +---+---+ +---+---+---+ | | | | | +---+---+---+ 或 +---+---+ + | | | | +---+---+ +---+- 终局
- 游戏的最后阶段，当下一步不可避免地要创建一个 3-方框时开始
- 欧拉恒等式
- a平面中任何图形的一般关系，不仅是 Dots 游戏，其中线不交叉： (线的数量) − (点的数量) + 2 = (面的数量) 其中面包括 "外部面"，所以对我们来说（面的数量）=（方框的数量）+ 1。
- 图形
- 数学中的一个概念，其中若干点由若干条线连接
- Hard-Hearted Handout
- 画中线
+---+---+ +---+---+ +---+---+ 或 | 或 | | +---+---+ +---+ + + + +或它们的旋转和镜像版本导致+---+---+ +---+---+ +---+---+ | 或 | | 或 | | | +---+---+ +---+ + + + +或它们的旋转和镜像版本- Half-Hearted Handout
- 在一条有两个方框的链的边界上画一条线，导致
+---+---+ +---+---+ | 或 | | +---+---+ +---+ +
- 线
- 水平连接两个相邻点的线段+---+ 或垂直
- 线性链
- 有 2 个末端的链，不一定是直的
- 长链规则
- 一个玩家应该努力使点的数量+长链的数量为偶数，第二个玩家应该努力使这个数值为奇数。
- 长链
- 一个有 ≥ 3个方框的链
- 疯狂移动
- 让对手选择做出牺牲的移动
- 环
- 环形链的缩写
- 环形链
- 一条没有尽头的链
- 移动
- 画线
- 回合数公式
- 一个 精确的公式 给出了游戏中的回合数，它是长链规则的基础，对数量少的点决定是否成为第一个移动的玩家很有用
- 打开一条链
- 在链内或在其一端移动（如果它是线性链）
- 规则 1
- 最明显的做法是避免创建一个3-方框 ，对手可以通过完成它来获得分数。
- 规则 2
- 对于链的排序，最后一条链取最大的线性链，如果没有线性链，则取最大的环形链。
- 规则 3
- 如果在终局中，所有的方框都至少有 2 条边，那么为了给所有其他的链排序，就按（方框的数量）− 2（如果是环形链）排序。
- 规则 4
- T要为下一个玩家建立按价值排序的链序列，首先是价值最低的，执行一连串移动 (见 文本)，直到完成整个题板。
- 规则 5
- 使用提供的伪代码 (见 文本) 来决定是否采用 DD/DDD。
- 规则 6
- 参考长链规则
- 取得控制权
- 与采用 DD/DDD 相同，作为一个重要的连带作用，可以选择在下一个链中重复采用 DD/DDD
- 回合
- 一个玩家的一系列连续移动
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