Vì tổng của tất cả các số ô không thay đổi khi phối, cách duy nhất để tổng tăng là tạo ô ngẫu nhiên. Do đó, sau bất kỳ lượt nào, tổng tăng thêm 2 với 90% cơ hội hoặc 4 với 10% cơ hội.
tại một thời điểm nào đó trong trò chơi, tổng chính xác là N = 2n và Q(n) = 1 − P(n) là xác suất mà tổng sẽ không bao giờ bằng N.
Khi bắt đầu trò chơi, tổng bằng 0 với xác suất 100%, tức là P (0) = 1 và Q (0) = 0.
Khả năng duy nhất mà một số chẵn N không thể là tổng của tất cả các ô là N−2 xảy ra dưới dạng tổng (với xác suất 1−Q(n−1)) VÀ 4 được tạo ra (với xác suất ¹⁄₁₀). Do đó, xác suất là Q(n) = (1−Q(n−1))/(10) là quan hệ lặp lại tuyến tính 10 Q(n) + Q(n−1) = 1.
(với số 0 ở phía bên tay phải) cộng với một giải pháp cụ thể của phiên bản không đồng nhất.
Nghiệm tổng quát của phiên bản đồng nhất 10 Q(n) + Q(n−1) = 0 là Q(n) = a(−¹⁄₁₀)ⁿ với a là một số tùy ý.
Một nghiệm cụ thể của phiên bản không đồng nhất là Q(n) = 1/11 với mọi n vì 10(1/11) + 1/₁₁ = ¹.
Hằng số a được xác định từ trường hợp

thay thế a vào công thức cho Q cho Q(n) = 1/11 − 1/₁₁(−₁⁄1⁄1⁄_{10)n_{và do đó}}
+ (−1⁄₁₀)ⁿ )/(¹¹). ■

2048